Teorema de Pitágoras
A partir de dois conjuntos distintos compostos por diversos polígonos formam-se dois quadrados de áreas diferentes. Utilizando o total de polígonos desses mesmos conjuntos é possível construir um terceiro quadrado.
A relação existente entre as áreas desses três quadrados sugere uma possível demonstração para o Teorema de Pitágoras.
O mais antigo teorema
Você, prezado leitor, sabe o que significa um “teorema”? E qual é o mais antigo? Para entendermos o que é um teorema, podemos usar uma analogia mais moderna e entender que se trata apenas de um quebra-cabeça. Mas se tentarmos encontrar seu significado em qualquer dicionário, iremos encontrar definições como: “substantivo masculino, proposição que pode ser demonstrada por meio de um processo lógico”. Na matemática podemos entendê-lo como “uma afirmação que pode ser provada como verdadeira”. E sabe qual é o mais antigo? Respondendo a essa questão iremos encontrar “O teorema de Pitágoras” como resposta na maioria das pesquisas. Porém, devemos ressaltar que o Teorema de Pitágoras, famoso para qualquer aluno do ensino médio, é na verdade muito mais antigo que o próprio filósofo a quem ele foi atribuído. Pitágoras viveu no século VI antes de cristo, entretanto existem evidências de que há pelo menos 2000 ou 1600 anos antes de cristo, os babilônicos já utilizavam os mesmos conceitos do famoso teorema na resolução de problemas.
Contudo estes povos antigos: babilônicos, gregos, chineses, indianos, árabes e egípcios utilizavam estes conhecimentos mesmo não conseguindo entendê-los corretamente em sua plenitude. Coube a Pitágoras todos os méritos deste teorema porque mesmo sendo um conhecimento antigo ninguém até então havia conseguido prová-lo. Esse teorema marca o inicio da utilização da prova na matemática. E Pitágoras conseguiu provar que esse conhecimento era válido para todo triângulo retângulo, independentemente de suas dimensões. Assim, hoje sabemos que num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos adjacentes é igual ao quadrado da hipotenusa.
Características do teorema de Pitágoras
O teorema é bastante usado nas áreas de trigonometria e geometria e funciona da seguinte maneira: Em um triângulo retângulo com lados a, b e c, sendo c o maior lado deste triângulo e oposto ao ângulo de 90 graus, temos que "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa."
A mais simples desta relação com catetos e hipotenusa é a que envolve os números 3,4 e 5 como lados do triângulo (e pelo que já aprendemos até aqui, sabemos quem são os catetos e qual é a hipotenusa entre estes números), vejamos a imagem abaixo em que analisamos isto juntamente como a geometria, onde usamos quadrados (fazendo uso desta análise geométrica, é uma forma de provar a validade do teorema.)
Além da relação mais simples, mencionada anteriormente, temos também outra relação no teorema de pitágoras: a relação em que temos dois catetos iguais a 1, sendo esta muito importante, pois, além de dar muito trabalho aos matemáticos da época de Pitágoras, ela foi a porta de entrada para estudarmos os número irracionais, uma vez que nesta situação, a hipotenusa tem resultado igual à raiz quadrada de 2 = 1,414213562373..., um número totalmente diferente àqueles que os antigos matemáticos estavam acostumados. Por ironia hoje o número mais famoso na matemática é um irracional: PI = (3,14592653589793238...).
Aplicação do teorema
O teorema de Pitágoras pode ser usado para determinarmos quanto mede a diagonal de qualquer quadrado, só precisamos fazer o seguinte:
seja um quadrado de lado de tamanho L (o tamanho que você quiser), a sua diagonal será L√2. Para os mais céticos podemos usar o teorema de Pitágoras para confirmar esta afirmação:
Chegando assim na afirmação, um tanto ousada, de que toda diagonal de um quadrado é igual ao lado do quadrado vezes a raiz quadrada de 2.
d2 = L2+L2
d2 = 2L2
d = L√2
Autoria: Sousa, D.; Nascimento, F.; Klafke, J.; Bassini, A. (2020) Teorema de Pitágoras.
Créditos detalhados
Autores:
Djeferson Pereira de Sousa
Françuilo Gomes do Nascimento
Julio Klafke
Ailton Marcos Bassini (bassini@usp.br)
Apoio técnico:
Luca Hermes Pusceddu